1	Statistique Inférentielle
2	Rôle La statistique inférentielle nous permet d’extrapoler des échantillons à la population.
3	Caractéristiques de l’échantillon Indépendant ou non apparié: les individus qui le composent ne sont pas physiquement les mêmes dans chacun des échantillons. Appariés ou dépendants : les individus qui le composent sont identiques.
4	Relation population - échantillon
5	Échantillonnage « Il n ’est pas nécessaire de manger le bœuf entier pour savoir qu’il est coriace » Samuel Johnson
6	Qualité d’un estimateur Absence de biais Précision Convergence Robustesse
7	Objet de l’estimation L’ordre de grandeur de la variable aléatoire : le paramètre de position La part de l’aléatoire : le paramètre de dispersion La relation entre 2 variables : les paramètres d’association
8	Les tests d’hypothèses
9	Formulation de l’hypothèse nulle H₀ Condition présumée vraie en absence de fortes évidences du contraire. Ne pas mettre comme hypothèse nulle, l’hypothèse que vous voulez vérifier. Si l’hypothèse nulle est rejetée, alors l’hypothèse de recherche, appelée pour cette raison hypothèse alternative peut être envisagée
10	Les tests d’hypothèse La technique du test d’hypothèse a été mis au point par Fisher en 1951. Il s’est basé sur un problème très « anglais » : le goût du thé est-il influencé par l’ordre des ingrédients : le thé et le lait.
11	L’hypothèse alternative L’hypothèse alternative ou hypothèse de recherche est représentée par H₁ ou H_a Elle peut prendre une forme unilatéral : - médicament > placebo q₁ > q₀. inhibiteur < contrôle : q1 < q0. Test bilatéral : - test <> contrôle : q1 <> q0.
12	Les risques L’hypothèse nulle doit être formulée de telle façon que son rejet erroné constitue une erreur plus grave que son acceptation erronée. Les notions de risque d ’erreur de type I (a) et de type II (b) en découle. Les valeurs les plus courantes : 0.05 et 0.01
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15	Risques statistiques Risque a C’est le risque de croire que le procédé n’est pas correctement réglé alors qu’il l’est. C ’est croire que le médicament est efficace alors que c’est un Placebo. Risque b C’est le risque de croire que le procédé est correctement réglé alors qu’il ne l’est pas. C ’est ne pas mettre sur le marché un médicament croyant que c ’est un Placebo alors qu ’il est efficace
16	Représentation graphique
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18	Les faux Faux positifs : rejeter l’hypothèse nulle lorsque celle-ci est vraie. Faux négatifs : ne pas rejeter l’hypothèse alors qu’elle est fausse.
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21	Etape 2 : étude Pilote Le but d ’une étude pilote est souvent d ’évaluer la puissance du test : ai-je une puissance suffisante pour voir une différence ? Cette puissance dépend de 2 facteurs : la variabilité des mesures et le nombre de mesures.
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23	Comparaison une moyenne avec une référence
24	Buts Sélectionner les tests d ’hypothèses Comparer l ’échantillon à une valeur fixée Comparer 2 populations Identifier les hypothèses soutenant les tests statistiques Forme de distribution, dispersion, indépendance. Robustesse
25	Approche probabiliste
26	Population simple
27	Tests d’exactitude de la moyenne H₀ : µ=C vs µ#C H₀ : µ£C vs µ>C H₀ : µ³C vs µ<C
28	Test t pour un échantillon simple Suppositions et leurs vérifications
29	Suppositions et leurs vérifications Indépendance des échantillons Moyenne distribuée normalement : sensibilité aux « outliers » Théorème central limite : pour de grands échantillons, la distribution tend à être normale.
30	Normalité de la distribution Pour de faibles échantillons, les tests de normalité sont conseillés De légères transgressions n ’invalident pas le test t pour de grands échantillons.
31	Limites Difficultés en présence de valeurs en-dessous de la limite de détection contrairement aux tests sur les rangs et les proportions. La moyenne et l ’écart-type sont influencés par les « outliers ».
32	Robustesse Le test t n’est pas robuste face aux « outliers » Le test du rang signé de Wilcoxon est plus robuste Le test de Wilcoxon est moins puissant : il a moins tendance à rejeter l ’hypothèse nulle quand elle est fausse que le test t
33	Etapes Etape 1- Calcul de la moyenne m et l ’écart-type s et l’écart-type sur la moyenne s_m. Etape 2- Estimer la valeur critique de t_1-_a dans les tables pour le risque a et n mesures. Etape 3-Calcul du t_obs = \|m-C\| / s_m.
34	Etapes (suite) Etape 4- comparer t et t(1-a) : si t³ t_1-_a : H₀est rejetée : suite étape 6 si t< t_1-_a : pas d ’évidence pour rejeter l ’hypothèse nulle.
35	Etapes (suite) Etape 5- Vérification des faux négatifs par le calcul de n_c: si n_c £ n le test des faux négatifs est satisfait si n_c > n le test n ’est pas satisfait
36	Etapes (suite) Etape 6 : les résultats du test peuvent être : l ’hypothèse nulle est rejetée et il semble que la vraie moyenne est plus grande (plus petite) que C L ’hypothèse nulle n’est pas rejetée et le test des faux négatifs n’est pas vérifié. C paraît plus grand (ou plus petit) que m : l ’échantillon est trop petit.
37	Exemple 1
38	Graphiques
39	Exemple 2
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41	Exemple 3
42	Graphiques
43	Population simple Approche probabiliste
44	Comparaison de 2 populations Approche probabiliste
45	Comparer 2 moyennes 2 moyennes µ₁ et µ₂ Cas 1 :µ₁ - µ₂£d₀vs µ₁ - µ₂ >d₀ Cas 2 : µ₁ - µ₂ ³ d₀vs µ₁ - µ₂<d₀
46	Test t pour une comparaison de moyennes
47	Suppositions et leurs vérifications Indépendance des 2 séries d ’échantillons Moyennes distribuées normalement : ! sensibilité aux « outliers » Théorème central limite : pour de grands échantillons, la distribution tend à être normale.
48	Normalité de la distribution Pour de faibles échantillons, les tests de normalité sont conseillés De légères transgressions n ’invalident pas le test t pour de grands échantillons.
49	Robustesse Robuste par rapport à la normalité de la distribution et à l ’égalité des variances, En cas de non égalité des variances, appliquer la correction de Satterthwaite Des tests non-paramétriques peuvent être appliqués en cas de rejet. Pas robuste vis à vis des outliers
50	Un exemple Deux groupes (1, 2) ayant des moyennes qui diffèrent par d. Quelle est la probabilité p d’observer une telle différence si les deux moyennes sont égales (H₀)?
51	Exemple
52	Questions préalables Les données sont-elles indépendantes les unes des autres ? Oui : données non appariées (ou non pairées) Non : les données sont pairées. Dans ce cas, les données sont indépendantes. Les données sont-elles distribuées normalement ? Oui : test t Non : test de Wilcoxon-Mann-Whitney On le vérifie par un Q-Q plot
53	Questions préalables (2) La distribution est normale, questions supplémentaires Les variances sont-elles semblables ? Oui : les d.d.l. = n₁ + n₂ – 2 Non : correction et diminution des d.d.l. Y a-t-il des données suspectes (Q-Q plot) ? Oui : test adapté (Dixon, Grubbs,..) Si le test est positif, éliminer la donnée et refaire le test de comparaison sans la donnée
54	Graphiques
55	Graphique (2)
56	Rapport statistique
57	Comparaisons de 2 échantillons: échantillons indépendants Lorsqu’il n’y a pas de corrélation ou d’appariement entre les observations (sujets) des deux groupes. Ex: Poids à 6 mois de porcelets engraissés en suivant deux régimes différents.
58	Comparaisons de deux échantillons: échantillons appariés Dans les échantillons appariés, les observations (sujets) dans un groupes forment des paires avec les observations (sujets) de l’autre groupe. Ex: Le poids à six mois de porcelets ayant la même mais soumis à deux régimes différents.
59	Tests sur des échantillons appariés Utilisés quand il y a corrélation entre les observations des deux échantillons. Par exemple, le poids de rats avant et après un traitement H₀(unilatéral): utiliser un test de t pour échantillons appariés
60	Test de t pour échantillons appariés vs test de t pour échantillons indépendants En présence de corrélation, un test de t pour échantillons appariés est beaucoup plus puissant. L’erreur-type des différences moyennes entre les paires est habituellement plus petite que l’erreur-type de la différence entre les deux moyennes S’il n’y a pas de corrélation, un test de t pour échantillons appariés est moins puissant (N représente le nombre de paires et non le nombre d’observations).
61	Choix des hypothèses Hypothèse nulle H₀: m_contrôle = m_induit Hypothèse alternative H₁ : m_induit > m_contrôle
62	Test t
63	Conclusions Rejet de l’hypothèse nulle : t_obs > t_tables p <0.05
64	Que sont les degrés de liberté?
65	Pourquoi se soucier du nombre de degrés de liberté? La distribution des statistiques dépend du nombre de degrés de liberté. Donc, selon le nombre de degrés de liberté, la même valeur de la statistique peut sera convertie en probabilités différentes.
66	Pourquoi insister sur l’indépendance? Si les observations ne sont pas indépendantes, on surestime le nombre de degrés de … … la conversion de la statistique en valeur de p sera biaisée … … et on sous-estimera p.
67	Égalité des variances (homoscédasticité): le test de F Si les variances sont égales, alors s²_C = s²_T H₀ (ratio F): Ce test est très sensible à une déviation de la normalité
68	Test F d’égalité des variances
69	Approche non probabiliste
70	Test du rang signé de Wilcoxon sur la moyenne
71	But Pour un échantillon randomisé de taille n , le test non paramétrique de Wilcoxon peut être utilisé pour effectuer les tests d ’hypothèse sur la moyenne ou la médiane
72	Présupposés Echantillon randomisé Population continue symétrique. Attention : la population normale est symétrique mais la réciproque n ’est pas nécessairement vraie Nécessité d ’appliquer des test de symétrie ou de normalité. Si la distribution n ’est pas symétrique : transformation des données.
73	Limites Si les données ne sont pas approximativement symétriques, le test ne peut être utilisé. Le test de Wilcoxon produit des résultats erronés si beaucoup de données sont les mêmes.
74	Robustesse Pour de larges échantillons (n>50) le test t est plus robuste que le test de Wilcoxon. Pour de petits échantillons, de forme asymétrique ou de distribution non-normale : effectuer d ’éventuelles transformations.
75	Etapes Etape 1 - : Assigner la valeur de la moitié de la limite de détection aux données inférieures à celle-ci. Etape 2 : Déterminer les valeurs d=C-X Etape 3 : Trier les différences sur base de leur valeur absolue Etape 4 : leur donner un rang et un signe
76	Etapes(suite) Etape 5 - : Calculer la somme des rangs positifs R, Etape 6 : Déterminer la valeur critique de W dans les tables Si R est inférieure à W rejeter l ’hypothèse nulle Si l ’hypothèse nulle n ’est pas rejetée, effectuer le test de puissance.
77	Tests pour une médiane
78	But Pour un échantillon randomisé de taille n , le test peut être utilisé pour effectuer les tests d ’hypothèse sur la médiane
79	Application Test du rang signé de Wilcoxon
80	Comparaison de médianes: le test des médianes Calculer la médiane M pour les deux échantillons Classer chaque observation (plus grande ou plus petite que M) afin de créer un tableau 2X2 Faire un C² ou un test de G, pour tester l’indépendance
81	Comparaison de deux moyennes: le test U de Mann-Whitney On veut comparer le rendement du groupe témoin et du groupe traitement. Chacun des groupe contient 4 champs (ch.) (réplicats) Calculer la somme des rangs (R_C, R_T) pour chacun des groupes. H₀: R_C = R_T Calculer U et le p correspondant
82	Comparaison de moyennes: tests paramétriques (P) vs tests non-paramétriques (NP)
83	Procédure générale si N >20 pour chaque échantillon tester la normalité tester l’homoscedasticité si les deux échantillons sont distribués normalement et que les variances sont égales, utiliser le test de t (“variance commune”) si les deux échantillons sont distribués normalement mais que les variances sont inégales, utiliser le test approximatif de Welch (“variance séparées”) si un ou les deux échantillons ne sont pas distribués normalement, essayer de transformer les données ou utiliser le test de U de Mann-Whitney.
84	Procédures générales N<10 pour chaque groupe Utiliser le test de U de Mann-Whitney 10<N<20 pour chaque groupe utiliser 2 tests: test de t (variance commune ou variances séparées) et test de U Mann-Whitney … et espérer que l’inférence est la même!